[수리통계학 I] Some Special Distributions

10, 11강 요약 정리

부산대학교 김충락 교수님의 2020년 1학기 KOCW 강의를 들으며 요약하는 글입니다.

10강 링크
11강 링크

목차
1. Binomial Distribution
2. Correlation Coefficient
3. Independent Random Variables
4. Extension to Several Random Variables
5. Transformation of Random Vectors

Binomial Distribution

1. Binomial equation
   • $(a+b)^n = \sum_{x=0}^{n} {n\choose x} b^x a^{n-x}$
2. Bernoulli trial (베르누이 시행)

   • 매 결과가 S 혹은 F이며 $p= P(S)$의 확률이 일정하고, 각 시행이 독립인 일련의 실험.

   • $P(X_i= 1) = p$, P(X_i= 0) = 1-p$, $0 \leq p \leq 1$

   • $X_i ~ B(n,p)$ 라고 부르고, n은 시행 횟수, p는 성공 확률이다.

   • $E(X_i)= \sum_{x_i=0}^{1} X_if(x_i) = 0(1-p) + p = p$

   • $Var(X_i)= E(X_i^2)-E^2(X_i) = p(1-p)$

   • pmf of X: $P_X(x)= p^x(1-p)^{1-x} I(x=0, 1)$
3. Pmf of binomial distribution
   • $X_1, \cdots, X_n$을 bernoulli trials이라고 하자.

   • $X= \sum_{i=1}^{n} X_1$는 n번 시행 중 성공의 횟수를 의미한다.

   • $p(x)= {n\choose x}p^x (1-p)^{n-x} I(x= 0, 1, 2, \cdots, n)$
4. mgf
   • $M(t)= E[e^{tX}]$
     $= \sum_{x=0}^{n} e^{tx}{n\choose x} p^x(1-p)^{n-x}= \sum_{x=0}^{n}{n\choose x} (pe^t)^x(1-p)^{n-x}$
     $= [(1-p) + pe^t]^n$

Scroll to top ↑